Animation

Physical Simulation

Mass Spring System

质点弹簧系统

理想弹簧没有初始长度，现实中非零长弹簧

$(b-a)/||b-a||$为归一化力的方向，但是没有考虑能量损失，弹簧会一直运动

如果简单引入摩擦力，所有运动都会停止，而我们只想停止a和b的相对运动

红框内表示a和b的相对速度在二者连线方向上的投影

应用上述两个质点的相互作用到弹簧系统

图1，2无法体现抵抗折叠的力（对纸折叠松开后纸会部分恢复），无法体现抵抗拉伸的力（拉一个毛巾松开后毛巾会恢复）

图3改善抗拉伸，图4完善

Finite Element Method（FEM）：考虑质点之间的力作用，模拟更加真实但复杂

Particle System

粒子系统广泛用于图形与游戏行业

每个粒子的行为都会被一组人为设置的力所定义，粒子之间常见的作用力举例：重力，电磁力，摩擦力，空气阻力，粘滞力，碰撞等

一般粒子生成步骤如下：

  • 生成粒子
  • 计算每个粒子的力
  • 更新每个粒子的位置和速度
  • 将死亡的粒子移除
  • 渲染到屏幕

  • 鸟会试图融入周边的鸟群
  • 鸟之间不会太近
  • 都朝一个方向

Single particle simulation

首先假定一个速度场

Euler‘s Method

对时间离散化，用前一帧计算结果更新当前帧位置信息

会有误差，且稳定性差

Midpoint Method

做两次欧拉方法，第一次获得中点位置，取中点位置的速度再算一遍欧拉方法

Adaptive Step Size

也是做两次欧拉方法，第一次用Δt算，第二次用Δt/2算，检测两次结果，偏差较大则步长减半重新计算

Implicit Euler Method

后向欧拉方法，用未来的数据计算

Runge-Kutta Family

稳定性：假设步长为h，之前的欧拉方法，截断误差$O(h^2)$，总体误差$O(h)$，而RK4方法可以达到4阶误差

Position-Based/Verlet Integration

如位置调整法，韦尔莱积分等，这些方法通过调整粒子的位置使其满足一些特定性质，虽然不太物理（不满足能量守恒）也不太稳定，但实现起来比较简单，计算也比较快

Rigid body simulation

刚体不发生形变，内部粒子运动方式相同

更多考虑角度，角速度，角加速度等

Fluid simulation

流体模拟认为流体粒子不可压缩，且密度处处相等（变化前后密度也保持不变），那么任何时刻，任意位置的流体粒子发生运动都会导致其周围粒子的密度发生变化（马尔科夫链），而要使运动前后密度不变， 就需要通过改变流体粒子位置来修正

这个修正过程，就是流体模拟的过程

修正方法用到了深度学习的梯度下降法

Material Point Method（MPM）

Lagrangian（质点法）：逐个进行单粒子模拟

Eulerian（网格法）：将空间定义为多个网格单元，通过观察网格决定如何模拟

将二者结合，认为粒子具有一些属性，存储在粒子上，然后用网格法模拟，最后将每个时刻网格信息写回粒子上

Kinematics

Forwardd Kinematics

正向运动学是通过定义一些可活动关节（如铰链），通过计算来控制末端的点的运动

但对于艺术家而言习惯控制末端的点

Inverse Kinematics

但存在如下难点：

  • 关节到达一个点有多种方法
  • 有可能不存在解

要优化解的选择涉及到深度学习（随机化算法、梯度下降等）