Real-time Environment Mapping

渲染方程：渲染方程

需要一些快速的方法解这个方程

在 g(x) 积分域小或 g(x) 平滑时可以取约等

另一种理解：

理解成 f(x) 在 g(x) 积分域下的平均 * g(x) 的积分

Split Sum

将渲染方程拆分

先算第一步

在算之前可以预处理（类似于 MipMap ）

例如以半径1，2，4，8大小的滤波核进行处理。

某个区域内的积分就是这一区域内的和，可以从之前经过滤波的图中直接取到。

接着是第二步

右边这部分参数很多，不适用于预计算。

以为微表面 BRDF 为例

微表面 BRDF

对于 Fresnel 和 NDF 的近似：

由此变为 3 维的积分，有 3 个参数 R0，θ，α

NDF：法线分布

α：粗糙度，第二个图像的胖瘦

θ：入射角

R0：基础反射率，颜色

n：η，折射率，跟介质有关

R0可以拆到积分外面，简化成 2 维

fr/F 后 fr 只用考虑 NDF 项，即 Roughness

积分只有两个参数 θ 和 Roughness，存成 2 维数组，相当于纹理

PRT

Precomputed radiance transfer

傅里叶变换

任意函数可以拆分为多个基函数

空域的卷积等于频域上的乘积

两个函数的乘积的积分可以理解成卷积

这个积分结果的频率由两个函数中各自的最低频决定

Spherical Harmonics

球面谐波函数

二维的基函数

其次这里涉及到一个投影的操作

给定任何一个球面函数，如果我们想把它展开成某阶的一系列球谐函数的基函数，那么其中某个基函数的系数 ci 就等于把这个函数 f 和这个基函数做乘积再积分得到的结果，这就是投影 Projection 操作

这里和一个我们熟知的操作类似，假设我们三维空间有一个向量，我们需要用 (x,y,z) 坐标表示它，那么 xyz 的值是这个三维向量在各个坐标轴上的投影

球谐函数的各个基函数就可以理解为三维空间的各个坐标轴，而想要表示的函数自然就是那个三维空间的向量

其次，三维空间中我们的投影变成了乘积的积分而不是点乘。事实上，乘积再积分的操作本质上就是点乘，也就是dot操作。其次我们想三维空间的三个坐标轴互相投影为0，也就是说它们是正交的/互相垂直的，而事实上球谐函数的各个基函数也互相垂直。

不考虑 Shadow 的 PRT

对于 Diffuse 的 BRDF，求 Environment 的 Shading 时，要把 BRDF 和环境光的函数相乘然后半球积分，这正是我们之前提到的**乘积再积分 (product integral) **的操作。因为 BRDF 是低频的，我们可以把 BRDF 看作一个低通滤波器，只需要0，1，2阶就足够了（更高阶的系数基本接近于 0，可以舍去）

回到我们前面的 product integral 操作上，乘积再积分的结果的频率取决于低频部分，由也就是说，即使外界环境光再复杂，遇到了 Diffuse 的 BRDF，物体的表面也不会呈现出很复杂的杠光照，这也符合我们的常识。因此，用前 3 阶的 SH 描述光照得到的结果和正确的结果基本一致。

考虑 Shadow 的 PRT

我们重新分析一下渲染方程，它包括 Lighting 项，Visibility 项，BRDF 项，它们三个都可以表示为一个球面函数，那最终结果的颜色 (带着Shadow) 自然就是它们三项的对应值/像素相乘了

PRT的思想是，我们先假设场景中只有 Lighting 项可以变，如光照类型/反向，其它条件都不变。这样渲染方程就被我们拆成了两部分，一项我们叫 Lighting，另一项我们叫它 light transport。其次，在预计算的时候，PRT 把 Lighting 项拆成了一系列 SH 基函数。又因为我们前面提到，场景中除了光照其他条件都不变，那么显然 light transport 项也不会发生变化，它相当于着色点自身的性质，既然light transport 不变，那我们就可以在渲染之前把它预计算好。

简化为点乘

因为 Diffuse 的 BRDF 是一个常数，所以我们可以把它从积分中提出，这里我们写作ρ。其次用我们前面提到的球谐函数可以把 Li 项用一系列基函数表示变成求和项。然后交换积分与求和的顺序（图形学中大多数情况都可以调换积分和求和的顺序），此时基函数的系数 li 也可以从积分中提出。此时我们可以看到右边划红线的部分变成了，Visibility 项和 cos 项的乘积也就是 light transport 项，再乘一个基函数然后积分，这不就是 Light transport 项在 SH 各个基函数上的投影吗。